Rumus Sudut Istimewa Trigonometri dan Contoh Soalnya!

Jika semasa SMA mengambil jurusan IPA, pasti ingat pernah mempelajari sudut istimewa trigonometri.

Sudut istimewa ini adalah sudut tertentu yang nilai perbandingan dalam trigonometrinya dapat ditemukan tanpa dihitung manual atau menggunakan kalkulator.

Ini juga merupakan sudut-sudut yang memiliki nilai sinus, kosinus, dan tangen yang dapat diekspresikan dalam bentuk pecahan atau bilangan desimal yang sederhana.

Sudut istimewa ini, yakni sudut 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°.

Dalam ilmu matematika, perbandingan antara sudut dan sisinya ini dihitung menggunakan Sin, Cos, Tan, Csc, Sec, dan Cot.

Untuk mengenal lebih jauh mengenai sudut istimewa trigonometri, simak penjelasan berikut ini!

Baca Juga: Cara Menghitung Persen serta Rumus dan Contoh Soalnya

Pengertian Trigonometri

Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, yaitu trigonon yang memiliki arti “tiga sudut” dan metron yang memiliki arti “mengukur”.

Trigonometri adalah salah satu cabang matematika tentang hubungan antar sudut dan sisi pada segitiga.

Nah, rumus trigonometri dipakai untuk menghitung sudut di segitiga.

Trigonometri adalah sistem perhitungan yang berkaitan erat dengan panjang dan sudut pada segitiga.

Trigonometri ini sebetulnya telah banyak membantu disiplin ilmu lain, seperti astronomi untuk navigasi di laut, udara, dan angkasa, teori musik, akustik, optik, dan lainnya.

Aplikasi trigonometri yang umum digunakan dikenal dengan aturan sinus, kosinus, dan luas segitiga.

Aturan sinus adalah aturan penting yang memiliki fungsi untuk menghubungkan sisi dan sudut segitiga.

Aturan ini bisa digunakan dalam segitiga apa pun dengan sisi yang sudut berlawanannya diketahui.

Sedangkan aturan kosinus menghubungkan ketiga sisi ke satu sudut.

Aturan ini digunakan untuk menjelaskan hubungan antara nilai kosinus dan kuadrat panjang sisi pada salah satu sudut segitiga.

Adapun aturan luas segitiga digunakan untuk menentukan luas segitiga jika diketahui sudut apit dan sisi apit dari sebuah segitiga.

Selain aturan Sinus dan Kosinus, ada juga aturan dalam segitiga yang berhubungan dengan luas segitiga.

Luas suatu segitiga sembarang dapat dihitung tidak hanya dengan rumus luas segitiga biasa, tetapi juga dengan trigonometri.

Baca Juga: Cara Menghitung Rumus Luas Persegi beserta Contohnya

Kesebangunan dan Rumus Trigonometri Dasar

Sebelum memehami rumus trigonometri, Moms dan Dads wajib paham dulu soal kesebangunan.

Faktanya, dua segitiga meskipun sisinya berbeda panjang mungkin sebangun.

Coba deh cek dua segitiga berbeda di bawah ini, diperhatikan juga mengenai hasil perbandingannya.

Bagaimana bisa sama perbandingannya?

Itu yang dinamakan sebangun atau bisa dibilang kedua segitiga memiliki sudut yang sama besar.

Jadi, tak mengherankan jika perbandingannya bisa sama.

Pada segitiga yang sebangun, perbandingan sisinya sama.

Lalu, muncul istilah untuk perbandingan sudut yang bernama Sin, Cos, dan Tan.

Rumus Sin, Cos, dan Tan trigonometri, bisa dilihat langsung di bawah ini:

• Sin didapat dari sisi depan per sisi miring
• Cos didapat dari sisi samping per sisi miring
• Tan didapat dari sisi depan per sisi samping

Jadi, Sin didapat dari sisi depan per sisi miring dan Cos didapat dari sisi samping per sisi miring.

Sementara, Tan didapat dari sisi depan per sisi samping.

Baca Juga: Rumus Keliling Segitiga Sembarang dan Kumpulan Soalnya

Mengenal Sudut Istimewa

Pada segitiga-segitiga sulit diketahui angka yang pasti. Namun, terdapat segitiga-segitiga yang istimewa.

Maksudnya istimewa adalah, angka-angkanya ini tepat.

Mereka pun bisa dibilang sebagai sudut istimewa trigonometri.

Segitiga istimewa ini dibangun dari sesuatu yang kita sudah tahu pasti, contohnya segitiga sama sisi dan persegi.

Mengapa kedua bangun tersebut?

Hal ini karena jumlah sudut pada segitiga sama sisi adalah 180 derajat dan pada persegi masing-masing sudutnya 90 derajat.

Jadi, jika dihitung maka nilai-nilainya seperti pada tabel berikut.

Sudut Berelasi pada Kuadran

Pertama, pahami mengenai kuadran terlebih dulu.

Kuadran adalah setiap dari empat bagian suatu bidang datar yang terbagi oleh suatu sumbu silang.

Sumbu silang tersebut adalah sumbu X dan sumbu Y.

Pada prinsipnya, nilai Sin akan positif jika y-nya positif.

Jika x-nya positif, nilai Cos akan positif.

Nilai Tan akan positif jika X dan Y sama-sama positif atau negatif.

Terakhir, nilai k akan selalu positif.

Nah, berdasarkan yang disebutkan di atas, maka nilai pada kuadran adalah:

• Kuadran I (0° − 90°) = semua positif.
• Kuadran II (90° − 180°) = sin positif.
• Kuadran III (180° − 270°) = tan positif.
• Kuadran IV (270° − 360°) = cos positif.

Baca Juga: Rumus Volume Balok dan Tips Cepat Belajar Matematika

Lebih mudahnya, perhatikan gambar di bawah.

Moms tidak perlu menghafal satu per satu.

Cukup perhatikan kalau rumus-rumus di atas memiliki pola yang sama.

Terutama sudut relasi yang dipakai dan tanda untuk setiap kuadran.

Untuk relasi (90° ± α°) atau (270° ± α°)

sin → cos

cos → sin

tan → cot

Untuk relasi (180° ± α°) atau (360° ± α°)

sin = sin

cos = cos

tan = tan

Baca Juga: Rumus Luas Jajar Genjang dan Contoh Soalnya, Mudah Kok!

Contoh Soal Sudut Istimewa Trigonometri

Setelah tahu tentang rumus sudut istimewa trigonometri, Moms juga harus menyimak contoh-contoh soal agar lebih paham.

Berikut contoh soal sudut istimewa trigonometri.

1. Contoh Soal 1

Carilah nilai dari Sin 30° + Cos 45°

Jawab:

Moms dapat menggunakan tabel nilai sudut istimewa trigonometri.

Dalam tabel tersebut,

Sin 30° memiliki nilai 1/2, sedangkan Cos 45° memiliki nilai (√2)/2.

Jadi, Sin 30° + Cos 45°

= 1/2 + (√2)/2

= (√2 + 1).

2. Contoh Soal 2

Tentukan nilai dari: 2 Cos 75° Cos 15°

Jawab:

2 Cos 75° Cos 15° = Cos [75 +15]° + Cos [75 – 15]°
                             = Cos 90° + Cos 60°
                             = 0 + ½
                             = ½.

3. Contoh Soal 3

Misalkan diketahui titik-titik berikut ini:

1. A (–12,5) dan ∠XOA = α.
2. B (15,–8) dan ∠XOB = θ.

Tentukanlah nilai Sin α dan Tan α, serta Cos θ dan Tan θ

Jawab:

Dengan memperhatikan koordinat titik A (–12,5), maka titik tersebut terletak di kuadran kedua, karena x = –12 dan y = 5.

Karena x = –12 dan y = 5, dengan menggunakan teorema Phytagoras diperoleh sisi miring, r = 13.

Oleh karena itu, diperoleh:

• Sin α = 5 / 13 (lima per tiga belas).
• Tan α = - 5 / 12 (min lima per dua belas).

4. Contoh Soal 4

Sebuah menara tinggi berdiri tegak lurus di tepi sebuah danau. Jarak dari ujung menara ke permukaan danau adalah 100 meter.

Seorang pengamat berada pada sudut 30 derajat dari permukaan air dan melihat ujung menara. Berapa tinggi menara tersebut?

Jawab:

Dalam kasus ini, sudut 30 derajat yang dibentuk oleh pengamat dan permukaan air adalah sudut istimewa trigonometri. Mari kita sebut tinggi menara tersebut sebagai h.

Tinggi menara / Jarak menara ke permukaan air = Tangen 30°

h / 100 = (√3)/3

h = 100 × (√3)/3

h ≈ 57.74 meter

Jadi, tinggi menara tersebut adalah sekitar 57.74 meter.

5. Contoh Soal 5

Seorang arsitek sedang merancang atap segitiga untuk sebuah bangunan. Sudut tajam di sudut atas atap adalah 60 derajat. Panjang alas atap adalah 12 meter. Berapa tinggi atap tersebut?

Jawab:

Dalam kasus ini, sudut tajam 60 derajat adalah sudut istimewa trigonometri. Mari kita sebut tinggi atap tersebut sebagai h.

Kita dapat menggunakan trigonometri untuk mencari tinggi atap dengan memanfaatkan sudut 60 derajat dan panjang alas 12 meter.

Tinggi atap / Panjang alas atap = Tangen 60°

h / 12 = √3

h = 12 × √3

h ≈ 20.78 meter

Jadi, tinggi atap tersebut adalah sekitar 20.78 meter.

6. Contoh Soal 6

Hitunglah nilai dari:

sin 30° + cos 45° - tan 60°

Jawaban:

Kita tahu nilai-nilai sudut istimewa:

• sin 30° = 1/2
• cos 45° = √2/2
• tan 60° = √3

Jadi,

sin 30° + cos 45° - tan 60° = 1/2 + √2/2 - √3

7. Contoh Soal 7

Tunjukkan bahwa:

cos² 60° + sin² 60° = 1

Jawaban:

Kita tahu nilai-nilai sudut istimewa:

• cos 60° = 1/2
• sin 60° = √3/2

Maka,

cos² 60° + sin² 60° = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1

Terbukti bahwa cos² 60° + sin² 60° = 1.

Baca Juga: Jaring-Jaring Balok: Pengertian, Manfaat, dan Rumusnya!

Itulah informasi mengenai sudut istimewa trigonometri.

Semoga informasi ini membantu, ya!